一、填空题
1.判断下列各命题的真假：
①向量AB→的长度与向量BA→的长度相等;
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同;
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量;
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.
其中假命题的个数为________.
2.已知向量AB→，AC→，BC→满足|AB→|=|AC→|+|BC→|，则下列叙述正确的是________.(写出所有正确的序号)
①AB→=AC→+BC→;
②AB→=-AC→-BC→;
③AC→与BC→同向;
④AC→与CB→同向.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D中，向量表达式DD1→-AB→+BC→化简后的结果是________.
4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D中，用向量AB→，AD→，AA1→来表示向量AC1的表达式为________________________________________________________________________.
5.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则AB→+12(BD→+BC→)化简的结果是________.
6.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，下列结论中正确的有________.(写出所有正确的序号)
①+GH→+PQ→=0;②-GH→-PQ→=0;
③+GH→-PQ→=0;④-GH→+PQ→=0.
7.如图所示，a,b是两个空间向量，则AC→与A′C′→是________向量，AB→与B′A′→是________向量.
8.在正方体ABCD-A1B1C1D中，化简向量表达式AB→+CD→+BC→+DA→的结果为________.
二、解答题
9.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)AB→+BC→+CD→，(2)AB→+GD→+EC→，并标出化简结果的向量.
10.设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心.
求证：AG→=13(AB→+AC→+AD→).
能力提升
11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→=a，BD→=b，则AF→=______________________.
12.证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.
参考答案
1①真命题;②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的;③真命题;④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.
2.④
解析由|AB→|=|AC→|+|BC→|=|AC→|+|CB→|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC→与CB→同向.
3.BD1→
解析如图所示，
∵DD1→=AA1→，DD1→-AB→=AA1→-AB→=BA1→，
BA1→+BC→=BD1→，
∴DD1→-AB→+BC→=BD1→.
4.AC1→=AB→+AD→+AA1→
解析因为AB→+AD→=AC→，AC→+AA1→=AC1→，
所以AC1→=AB→+AD→+AA1→.
5.AM→
解析如图所示，
因为12(BD→+BC→)=BM→，
所以AB→+12(BD→+BC→)
=AB→+BM→=AM→.
6.①
解析观察平行六面体ABCD—A1B1C1D1可知，向量EF→，GH→，PQ→平移后可以首尾相连，于是EF→+GH→+PQ→=0.
7.相等相反
8.0
解析在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量.
9.
解(1)AB→+BC→+CD→=AC→+CD→=AD→.
(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.
∴BE→=EC→，EF→=GD→.
∴AB→+GD→+EC→=AB→+BE→+EF→=AF→.
故所求向量AD→，AF→，如图所示.
10.
证明连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，
知BG→=23BE→.
∵E为CD的中点，
∴BE→=12BC→+12BD→.
AG→=AB→+BG→=AB→+23BE→=AB→+13(BC→+BD→)
=AB→+13[(AC→-AB→)+(AD→-AB→)]
=13(AB→+AC→+AD→).
11.23a+13b
解析AF→=AC→+CF→
=a+23CD→
=a+13(b-a)
=23a+13b.
12.证明如图所示，平行六面体ABCD—A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则AO→=12AC′→
=12(AB→+AD→+AA′→).
设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点.
则AP→=AB→+BP→=AB→+12BD′→
=AB→+12(BA→+BC→+BB′→)
=AB→+12(-AB→+AD→+AA′→)
=12(AB→+AD→+AA′→).
同理可证：AM→=12(AB→+AD→+AA′→)
AN→=12(AB→+AD→+AA′→).
由此可知O，P，M，N四点重合.
故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分.
