文科数学
本试卷分第Ｉ卷和第II卷两部分，共4页。满分150分，考试用时120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
１.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
２.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、答案写在试卷上无效。
３.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
４.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
第Ｉ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1) 已知 是虚数单位. 若 ＝ ，则
(A) (B) (C) (D)
(2) 设集合 ，则
(A) (B) (C) (D)
(3) 函数 的定义域为
(A) (B) (C) (D)
(4) 用反证法证明命题：“设 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假设是
(A) 方程 没有实根(B) 方程 至多有一个实根
(C) 方程 至多有两个实根(D) 方程 恰好有两个实根
(5) 已知实数 满足 ，学科网则下列关系式恒成立的是
(A) (B)
(C) (D)
(6) 已知函数 的图象如右图，则下列结论成立的是
(A) (B)
(C) (D)
(7) 已知向量 . 若向量 的夹角为 ，则实数
(A) (B) (C) 0(D)
(8) 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为 ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图。已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
(A) 6
(B) 8
(C) 12
(D) 18
(9) 对于函数 ，若存在常数 ，学科网使得 取定义域内的每一个值，都有 ，则称 为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是
(A) (B)
(C) (D)
(10) 已知 满足约束条件 当目标函数 在该约束条件下取到最小值 时， 的最小值为
(A) 5(B) 4(C) (D) 2
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
(11) 执行右面的程序框图，若输入的 的值为1，则输出的 的值为 .
(12) 函数 的最小正周期为 .
(13) 一个六棱锥的体积为 ，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 。
(14) 圆心在直线 上的圆 与 轴的正半轴相切，圆 截 轴所得弦的长为 ，则圆 的标准方程为 。
(15) 已知双曲线 的焦距为 ，右顶点为A，抛物线 的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 ，且 ，则双曲线的渐近线方程为 。
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
(16)（本小题满分12分）
海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区ABC
数量50150100
（Ｉ）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
（II）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.
(17) （本小题满分12分）
中，角A，B，C所对的边分别为 . 已知 .
（Ｉ）求 的值；
（II）求 的面积.
(18)（本小题满分12分）
如图，四棱锥 中， 分别为线段 的中点.
（Ｉ）求证： ；
（II）求证： .
(19) （本小题满分12分）
在等差数列 中，已知公差 ， 是 与 的等比中项.
（Ｉ）求数列 的通项公式；
（II）设 ，记 ，求 .
(20) （本小题满分13分）
设函数 ，其中 为常数.
（Ｉ）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（II）讨论函数 的单调性.
(21)（本小题满分14分）
学科网在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，直线 被椭圆 截得的线段长为 .
（Ｉ）求椭圆 的方程；
（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且 ，直线BD与 轴、 轴分别交于M，N两点.
（i）设直线BD，AM的斜率分别为 ，证明存在常数 使得 ，并求出 的值；
（ii）求 面积的值.
