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第二章平面向量
2．1平面向量的实际背景及基本概念
2．1．1向量的物理背景与概念
2．1．2向量的几何表示
（第11题）1．D.2．D.3．D.4．0.5．一个圆.6．②③.
7．如：当b是零向量，而a与c不平行时，命题就不正确．
8．（1）不是向量.（2）是向量，也是平行向量.（3）是向量，但不是平行向量.（4）是向量，也是平行向量．
9．BE，EB，BC，CB，EC，CE，FD（共7个）.
10．AO，OA，AC，CA，OC，CO，DO，OD，DB，BD，OB，BO（共12个）.
11．（1）如图.（2）AD的大小是202m，方向是西偏北45°.
2．1．3相等向量与共线向量
1．D.2．D.3．D.4．①②.5．④.6．③④⑤.
7．提示：由AB=DCAB=DC，AB∥DCABCD为平行四边形AD=BC.
（第8题）8．如图所示：A1B1，A2B2，A3B3.
9．（1）平行四边形或梯形.（2）平行四边形.（3）菱形.
10．与AB相等的向量有3个（OC，FO，ED），与OA平行的向量有9个（CB，BC，DO，OD，EF，FE，DA，AD，AO）,模等于2的向量有6个（DA,AD,EB,BE,CF,FC）.
11．由EH,FG分别是△ABD,△BCD的中位线，得EH∥BD，EH=12BD,且FG∥BD，FG=12BD，所以EH=FG,EH∥FG且方向相同，∴EH=FG．
2．2平面向量的线性运算
2．2．1向量加法运算及其几何意义
1．D.2．C.3．D.4．a，b.5．①③.6．向南偏西60°走20km.
7．作法：在平面内任取一点O，作OA=a,AB=b,BC=c,则OC=a+b+c，图略.
8．（1）原式=（BC+CA）+(AD+DB)=BA+AB=0.
（2）原式=(AF+FE)+(ED+DC)+CB=AE+EC+CB=AB.
9．2≤|a+b|≤8．当a，b方向相同时，|a+b|取到值8；当a，b方向相反时，|a+b|取到最小值2.
10．（1）5.（2）24.
11．船沿与河岸成60°角且指向上游的方向前进，船实际前进的速度为33km/h．
2．2．2向量减法运算及其几何意义
1．A.2．D.3．C.4．DB，DC.5．b-a.6．①②.
7．（1）原式=(PM+MQ)+(NP-NQ)=PQ+QP=0.
（2）原式=(BC-BD)+(CA+AD)+CD=DC+CD+CD=CD.
8．CB=-b，CO=-a，OD=b-a，OB=a-b.
9．由AB=DC，得OB-OA=OC-OD，则OD=a-b+c.
10．由AB+AC=(AD+DB)+(AE+EC)及DB+EC=0得证．
11．提示：以OA,OB为邻边作OADB,则OD=OA+OB，由题设条件易知OD与OC为相反向量，
∴OA+OB+OC=OD+OC=-OC+OC=0.
2．2．3向量数乘运算及其几何意义
1．B.2．A.3．C.4．-18e1+17e2.5．(1-t)OA+tOB.6.③.
7．AB=12a-12b，AD=12a+12b.8．由AB=AM+MB,AC=AM+MC，两式相加得出.
9．由EF=EA+AB+BF与EF=ED+DC+CF两式相加得出.
10．AD=a+12b,AG=23a+13b,GC=13a+23b,GB=13a-13b.
11．ABCD是梯形．∵AD=AB+BC+CD=-16a+2b=2BC,∴AD∥BC且AD≠BC.
2．3平面向量的基本定理及坐标表示
2．3．1平面向量基本定理
2．3．2平面向量的正交分解及坐标表示
1．D.2．C.3．C.4．(-2,3),(23,2).5．1,-2.6．①③.
7．λ=5．提示：BD=CD-CB=-3i+(3-λ)j，令BD=kAB(k∈R)，求解得出.
8．16．提示：由已知得2x-3y=5，5y-3x=6，解得x=43,y=27.
9．a=-1922b-911c．提示：令a=λ1b+λ2c，得到关于λ1,λ2的方程组，便可求解出λ1,λ2的值．
10．∵a,b不共线，∴a-b≠0，假设a+b和a-b共线，则a+b=λ·(a-b)，λ∈R，有(1-λ)a+(1+λ)b=0.∵a,b不共线，∴1-λ=0，且1+λ=0，产生矛盾，命题得证．
11．由已知AM=tAB（t∈R），则OM=OA+AM=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB，令λ=1-t，μ=t，则OM=λOA+μOB，且λ+μ=1(λ,μ∈R)．
2．3．3平面向量的坐标运算
2．3．4平面向量共线的坐标表示
1．C.2．D.3．D.4．(12,-7)，1,12.5．(-2,6)6．(20,-28)
7．a-b=(-8，5)，2a-3b=(-19,12)，-13a+2b=233,-5．
8．AB+AC=(0,1),AB-AC=(6,-3),2AB+12AC=92,-1.
9．提示：AB=(4,-1),EF=EA+AB+BF=83,-23=23AB.
10．31313,-21313或-31313,21313．
11．（1）OP=OA+tAB=(1,2)+t(3,3)=(1+3t,2+3t)，当点P在第二象限内时，1+3t＜0，且2+3t＞0，得-23＜t＜-13.
（2）若能构成平行四边形OABP，则OP=AB，得(1+3t,2+3t)=(3,3)，即1+3t=3，且2+3t=3，但这样的实数t不存在，故点O，A，B，P不能构成平行四边形．2.4平面向量的数量积
2．4．1平面向量数量积的物理背景及其含义
1．C.2．C.3．C.4．-122；-32.5．(1)0.(2)±24.(3)150°.
6．①.7．±5.8．-55；217；122.9．120°.
10．-25．提示：△ABC为直角三角形，∠B=90°，∴AB·BC=0，BC与CA的夹角为180°-∠C，CA与AB的夹角为180°-∠A，再用数量积公式计算得出．
11．-1010．提示：由已知：（a+b）·（2a-b）=0，且（a-2b）·（2a+b）=0，得到a·b=-14b2，a2=58b2，则cosθ=a·b|a||b|=-1010．
2．4．2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．B.2．D.3．C.4．λ＞32.5．（2，3）或（-2，-3）.6．［-6,2］.
7．直角三角形.提示：AB=(3,-2),AC=(4,6),则AB·AC=0,但｜AB｜≠|AC|.
8．x=-13；x=-32或x=3.9.1213,513或-1213,-513.
10．正方形．提示：AB=DC,|AB|=|AD|,AB·AD=0.
11．当C=90°时，k=-23;当A=90°时，k=113;当B=90°时，k=3±132.
2．5平面向量应用举例
2．5．1平面几何中的向量方法
1．C.2．B.3．A.4．3.5．a⊥b.6．②③④.
7．提示：只需证明DE=12BC即可.8．(7,-8).
9．由已知：CN=NA,BN=NP,∴AP=NP-NA=BN-CN=BC，同理可证：QA=BC，
∴AP=QA，故P,A,Q三点共线.
10．连结AO,设AO=a,OB=b,则AB=a+b,OC=-b,AC=a-b,|a|=|b|=r，∴AB·AC=a2-b2=0,∴AB⊥AC.
11．AP=4PM．提示：设BC=a,CA=b，则可得MA=12a+b，BN=a+13b，由共线向量，令PA=mMA,BP=nBN及PA+BP=BA=a+b，解得m=45，所以AP=4PM.
2．5．2向量在物理中的应用举例
1．B.2．D.3．C.4．|F||s|cosθ.5．(10,-5).6．④⑤.
7．示意图略,603N.8．102N.9．sinθ=v21-v22|v1|.
（第11题）10．（1）朝与河岸成60°的角且指向上游的方向开.（2）朝与河岸垂直的方向开.
11．（1）由图可得：|F1|=|G|cosθ，|F2|=|G|·tanθ，当θ从0°趋向于90°时，|F1|,|F2|都逐渐增大.
（2）令|F1|=|G|cosθ≤2|G|，得cosθ≥12，∴0°≤θ≤60°.
（第12(1)题）12．(1)能确定．提示：设v风车，v车地，v风地分别表示风对车、车对地、风对地的相对速度，则它们的关系如图所示，其中｜v车地｜＝6m/s，则求得：|v风车|＝63m/s，|v风地|＝12m/s．
(2)假设它们线性相关，则k1a1+k2a2+k3a3=0（k1,k2,k3不全为零），得(k1,0)+(k2,-k2)+(2k3,2k3)=(0,0),有k1+k2+2k3=0，且-k2+2k3=0，可得适合方程组的一组不全为零的解：k1=-4,k2=2,k3=1，所以它们线性相关.
(3)假设满足条件的θ存在，则由已知有：(a+b)2=3(a-b)2，化简得，|a|2-4|a||b|cosθ+|b|2=0，令t=|a||b|，则t2-4cosθ·t+1=0，由Δ≥0得，cosθ≤-12或cosθ≥12，故0≤θ≤π3或2π3≤θ≤π时，等式成立．
单元练习
1．C.2．A.3．C.4．A.5．C.6．C.7．D.8．D.9．C.
10．B.11．①②③④.12．-7.13．λ＞103.14．0,2.15.53.
16.2-2.17.④.18.(1)-13.(2)19.
19．（1）(4,2).（2）-41717．提示：可求得MA·MB=5(x-2)2-8；利用cos∠AMB=MA·MB|MA|·|MB|，求出cos∠AMB的值.
20．（1）提示：证(a-b)·c=0.（2）k＜0,或k＞2．提示：将式子两边平方化简．
21．提示：证明MN=13MC即可.
22．D(1,-1)；|AD|=5．提示：设D(x,y)，利用AD⊥BC，BD∥BC,列出方程组求出x,y的值.
