一、选择题
1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列命题中正确的是 （ ）
A．若 , , ,则 B．若 , , ,则
C．若 , , ,则 D．若 , , ,则
【答案】D
3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为 ,则这两个球的体积之比为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知正四棱柱 中 ,则 与平面 所成角的正弦值等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A [来源:www.12999.Com]
5 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为 , , , ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））某四棱台的三视图如图所 示,则该四棱台的体积是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））已知 为异面直线, 平面 , 平面 .直线 满足 ,则 （ ）
A． ,且 B． ,且
C． 与 相交,且交线垂直于 D． 与 相交,且交线平行于
【答案】D
10．（2 013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）已知三棱柱 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 的正三角形.若 为底面 的中心,则 与平面 所成角的大小为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
11．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））某几何体的三视图如题 图所示,则该几何体的体积为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知三棱柱 的6个顶点都在球 的球面上,若 , , ,则球 的半径为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
13．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上,且 ,正 方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为 ,那么
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））一个四面体的顶点在空间直角坐标系 中的坐标分别是 ,画该四面体三视图中的正视图时,以 平面为投影面,则得到正视图可以为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
15．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））在下列命题中,不是公理的是 （ ）
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线
【答案】A
16．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））在空间中,过点 作平面 的垂线,垂足为 ,记 .设 是两个不同的平面,对空间任意一点 , ,恒有 ,则 （ ）
A．平面 与平面 垂直 B．平面 与平面 所成的(锐)二面角为
C．平面 与平面 平行 D．平面 与平面 所成的(锐)二面角为
【答案】A
17．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所 示,则该几何体的直观图可以是
【答案】D
二、填空题
18．（2013年高考上海卷（理））在 平面上,将两个半圆弧 和 、两条直线 和 围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D绕y轴旋转一周而成的几何体为 ,过 作 的水平截面,所得截面面积为 ,试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出 的体积值为__________
【答案】 .
19．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___ _____.
【答案】
20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知圆 和圆 是球 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 的半径, ,且圆 与圆 所在的平面所成的一个二面角为 ,则球 的表面积等于______.
【答案】
21．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的小值为__________.
【答案】
22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））如图,在三棱柱 中, 分别是 的中点,设三棱锥 的体积为 ,三棱柱 的体积为 ,则 ____________.
【答案】
23．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________ .
【答案】24
24．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,正方体 的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段 上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号).[
①当 时,S为四边形;②当 时,S为等腰梯形;③当 时,S与 的交点R满足 ;④当 时,S为六边形;⑤当 时,S的面积为 .
【答案】①②③⑤
25．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是____________.
【答案】
26．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是_______________
【答案】
27．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体 中,异面直线 与 所成角的大小为_______
【答案】
三、解答题
28．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.
(I)求证:
(II)
【答案】
29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥 中, , , 为 的中点, .
(1)求 的长; (2)求二面角 的正弦值.
【答案】
1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图,圆锥顶点为 .底面圆心为 ,其母线与底面所成的角为22.5°. 和 是底面圆 上的两条平行的弦,轴 与平面 所成的角为60°.
(Ⅰ)证明:平面 与平面 的交线平行于底面; (Ⅱ)求 .
【答案】解: (Ⅰ)
.
所以, .
(Ⅱ) .
.
.
法二:
1．（2013年普通高等学校招生统一 考试浙江数学（理）试题（纯WORD版））如图,在四面体 中, 平面 , . 是 的中点, 是 的中点,点 在线段 上,且 .
(1)证明: 平面 ;(2)若二面角 的大小为 ,求 的大小.
【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取 的中点 ,且 是 中点,所以 .因为 是 中点,所以 ;又因为(Ⅰ) 且 ,所以 ,所以面 面 ,且 面 ,所以 面 ;
方法二:如图7所示,取 中点 ,且 是 中点,所以 ;取 的三等分点 ,使 ,且 ,所以 ,所以 ,且 ,所以 面 ;
(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面 面 ,过 作 于 ,所以 ,过 作 于 ,连接 ,所以 就是 的二面角;由已知得到 ,设 ,所以
,
在 中, ,所以在 中, ,所以在 中
;
2．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥 中, ,异面直线 与 所成角的大小为 ,求该三棱柱的体积.
【答案】[解]因为 .
所以 为异面直线 与 .所成的角,即 = .
在Rt 中, ,
从而 ,
因此该三棱柱的体积为 .
3．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分14分.
如图,在三棱锥 中,平面 平面 , , ,过 作 ,垂足为 ,点 分别是棱 的中点.
求证:(1)平面 平面 ; (2) .
【答案】证明:(1)∵ , ∴F分别是SB的中点
∵E.F分别是SA.SB的中点 ∴EF∥AB
又∵EF 平面ABC, AB 平面ABC ∴EF∥平面ABC
同理:FG∥平面ABC
又∵EF FG=F, EF.FG 平面ABC∴平面 平面
(2)∵平面 平面
平面 平面 =BC
AF 平面SAB
AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC 又∵BC 平面SBC ∴AF⊥BC
又∵ , AB AF=A, AB.AF 平面SAB ∴BC⊥平面SAB又∵SA 平面SAB∴BC⊥SA
4．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线BC1平行于平面DA1C,并求直线BC1到平面D1AC的距离.
【答案】因为ABCD-A1B1C1D1为长方体,故 ,
故ABC1D1为平行四边形,故 ,显然B不在平面D1AC上,于是直线BC1平行于平面DA1C;
直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离设为
考虑三棱锥ABCD1的体积,以ABC为底面,可得
而 中, ,故
所以, ,即直线BC1到平面D1AC的距离为 .
5．（2013年高考湖北卷（理））如图, 是圆 的直径,点 是圆 上异于 的点,直线 平面 , , 分别是 , 的中点.
(I)记平面 与平面 的交线为 ,试判断直线 与平面 的位置关系,并加以证明;
(II)设(I)中的直线 与圆 的另一个交点为 ,且点 满足 .记直线 与平面 所成的角为 ,异面直线 与 所成的角为 ,二面角 的大小为 ,求证: .
(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)
6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD版））如图1,在等腰直角三角形 中, , , 分别是 上的点, , 为 的中点.将 沿 折起,得到如图2所示的四棱锥 ,其中 .
(Ⅰ) 证明: 平面 ; (Ⅱ) 求二面角 的平面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ) 在图1中,易得
连结 ,在 中,由余弦定理可得
由翻折不变性可知 ,
所以 ,所以 ,
理可证 , 又 ,所以 平面 .
(Ⅱ) 传统法:过 作 交 的延长线于 ,连结 ,
因为 平面 ,所以 ,
所以 为二面角 的平面角.
结合图1可知, 为 中点,故 ,从而
所以 ,所以二面角 的平面角的余弦值为 .
向量法:以 点为原点,建立空间直角坐标系 如图所示,
则 , ,
所以 ,
设 为平面 的法向量,则
,即 ,解得 ,令 ,得
由(Ⅰ) 知, 为平面 的一个法向量,
所以 ,即二面角 的平面角的余弦值为 .
7．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点.
(Ⅰ) 证明B1C1⊥CE;
(Ⅱ) 求二面角B1-CE-C1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 , 求线段AM的长.
【答案】
8．（2013年高考新课标1（理））如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)取AB中点E,连结CE, , ,
∵AB= , = ,∴ 是正三角形,
∴ ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵ =E,∴AB⊥面 ,
∴AB⊥ ;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB, ⊥AB,
又∵面ABC⊥面 ,面ABC∩面 =AB,∴EC⊥面 ,∴EC⊥ ,
∴EA,EC, 两两相互垂直,以E为坐标原点, 的方向为 轴正方向,| |为单位长度,建立如图所示 空间直角坐标系 ,
有题设知A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0, ),B(-1,0,0),则 =(1,0, ), = =(-1,0, ), =(0,- , ),
设 = 是平面 的法向量,
则 ,即 ,可取 =( ,1,-1),
∴ = ,
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为
9．（2013年高考陕西卷（理））如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 证明: A1C⊥平面BB1D1D;
(Ⅱ) 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角 的大小.
【答案】解:(Ⅰ) ;又因为,在正方形AB CD中, .
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
.(证毕)
(Ⅱ) 建立直角坐标系统,使用向量解题.
以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则
.
由(Ⅰ)知, 平面BB1D1D的一个法向量
设平面OCB1的法向量为
.
所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角 为
10．（2013年高考江西卷（理））如图,四棱锥 中, , ,连接 并延长交 于 .
(1) 求证: ;
(2) 求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】解:(1)在 中,因为 是 的中点,所以 ,
故 ,
因为 ,所以 ,
从而有 ,
故 ,又因为 所以 ∥ .
又 平面 ,
所以 故 平面 .
(3) 以点 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则 ,
(4)
,故
设平面 的法向量 ,则 ,
解得 ,即 .
设平面 的法向量 ,则 ,解得 ,
即 .从而平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
11．（2013年高考四川卷（理））如图,在三棱柱 中,侧棱 底面 , , , 分别是线段 的中点, 是线段 的中点.
(Ⅰ)在平面 内,试作出过点 与平面 平行的直线 ,说明理由,并证明直线 平面 ;
(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 交 于点 ,交 于点 ,求二面角 的余弦值.
【答案】解: 如图,在平面 内,过点 做直线 // ,因为 在平面 外,
在平面 内,由直线与平面平行的判定定理可知, //平面 .
由已知, , 是 的中点,所以, ,则直线 .
因为 平面 ,所以 直线 .又因为 在平面 内,且 与 相交,所以直线平面
解法一:
连接 ,过 作 于 ,过 作 于 ,连接 .
由 知, 平面 ,所以平面 平面 .
所以 平面 ,则 .
所以 平面 ,则 .
故 为二面角 的平面角(设为 ).
设 ,则由 , ,有 , .
又 为 的中点,所以 为 的中点,且 ,
在 中, ;在 中, .
从而, , , [来
所以 .
所以 .
故二面角 的余弦值为
解法二:
设 .如图,过 作 平行于 ,以 为坐标原点,分别以 , 的方向为 轴, 轴, 轴的正方向,建立空间直角坐标系 (点 与点 重合).
则 , .
因为 为 的中点,所以 分别为 的中点,
故 ,
所以 , , .
设平面 的一个法向量为 ,则
即 故有
从而
取 ,则 ,所以 .
设平面 的一个法向量为 ,则
即 故有
从而
取 ,则 ,所以 .
设二面角 的平面角为 ,又 为锐角,
则 .
故二面角 的余弦值为
12．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分10分.
如图,在直三棱柱 中, , , ,点 是 的中点
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值
(2)求平面 与 所成二面角的正弦值.
【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力.
解:(1)以 为为单位正交基底建立空间直角坐标系 ,
则 , , , ,
∴ ,
∴
∴异面直线 与 所成角的余弦值为
(2) 是平面 的的一个法向量
设平面 的法向量为 ,∵ ,
由
∴ 取 ,得 ,∴平面 的法向量为
设平面 与 所成二面角为
∴ , 得
∴平面 与 所成二面角的正弦值为
13．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））如图,四棱锥 中, 与 都是等边三角形.
(I)证明: (II)求二面角 的大小.
【答案】
14．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））如图所示,在三棱锥 中, 平面 , , 分别是 的中点, , 与 交 于点 , 与 交于点 ,连接 .
(Ⅰ)求证: ; (Ⅱ)求二面角 的余 弦值.
【答案】解:(Ⅰ)证明:因为 分别是 的中点,
所以 ∥ , ∥ ,所以 ∥ ,
又 平面 , 平面 ,
所以 ∥平面 ,
又 平面 ,平面 平面 ,
所以 ∥ ,
又 ∥ ,
所以 ∥ .
(Ⅱ)解法一:在△ 中, , ,
所以 ,即 ,因为 平面 ,所以 ,
又 ,所以 平面 ,由(Ⅰ)知 ∥ ,
所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,同理可得 ,
所以 为二面角 的平面角,设 ,连接 ,
在 △ 中,由勾股定理得, ,
在 △ 中,由勾股定理得, ,
又 为△ 的重心,所以
同理 ,
在△ 中,由余弦定理得 ,
即二面角 的余弦值为 .
解法二:在△ 中, , ,
所以 ,又 平面 ,所以 两两垂直,
以 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设 ,则 , , , , ,,所以 , , , ,
设平面 的一个法向量为 ,
由 , ,
得
取 ,得 .
设平面 的一个法向量为
由 , ,
得
取 ,得 .所以
因为二面角 为钝角,所以二面角 的余弦值为 .
15．（2013年高考湖南卷（理））如图5,在直棱柱 , , .
(I)证明: ; (II)求直线 所成角的正弦值.
【答案】解: (Ⅰ)
. (证毕)
.
16．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））如图,在四棱柱 中,侧棱 , , , , , , .
(1)求证:
(2)若直线 与平面 所成角的正弦值为 ,求 的值;
(3)现将与四棱柱 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定:若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中小的表面积为 ,写出 的表达式(直接写出答案,不必要说明理由)
【答案】解:(Ⅰ)取 中点 ,连接
,
四边形 为平行四边形
且
在 中,
,即 ,又 ,所以
平面 , 平面
,又 ,
平面
(Ⅱ)以 为原点, 的方向为 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 , , ,
所以 , ,
设平面 的法向量 ,则由
得 取 ,得
设 与平面 所成角为 ,则
,解得 .故所求 的值为1
(Ⅲ)共有 种不同的方案
17．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD版含答案））如图,直棱柱 中, 分别是 的中点, .
(Ⅰ)证明: 平面 ; (Ⅱ)求二面角 的正弦值.
【答案】
18．（2013年高考北京卷（理））如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形, 平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,并求 的值.
【答案】解:
(I)因为AA1C1C为正方形,所以AA1 ⊥AC.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.
(II)由(I)知AA1 ⊥AC,AA1 ⊥AB. 由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC. 如图,以A为原点建立空间直角坐标系A- ,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
设平面A1BC1的法向量为 ,则 ,即 ,
令 ,则 , ,所以 .
同理可得,平面BB1C1的法向量为 ,所以 . 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为 .
(III)设D 是直线BC1上一点,且 . 所以 .解得 , , .
所以 .
由 ,即 .解得 .
因为 ,所以在线段BC1上存在点D,
使得AD⊥A1B.
