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2013年湖南数学理试题(腾讯文字版)

时间:2013-06-14 11:09:00   来源:腾讯教育     [字体: ]
2013年湖南数学理试题(腾讯文字版)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)

数学(理工农医类)

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共5页,时量120分钟,满分150分。

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数 在复平面上对应的点位于

A.第一象限    B.第二象限     C.第三象限      D.第四象限

2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是

A.抽签法    B.随机数法     C.系统抽样法      D.分层抽样法

3.在锐角中 ,角 所对的边长分别为 .若

A.         B.            C.               D.  

4.若变量 满足约束条件 ,

A.         B.            C.               D.  

5.函数 的图像与函数 的图像的交点个数为

A.3          B.2            C.1               D.0

6. 已知 是单位向量, .若向量 满足

A.           B.     

C.               D.  

7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于

A.         B.            C.               D.  

8.在等腰三角形 中, 点 是边 上异于 的一点,光线从点 出发,经 发射后又回到原点 (如图 ).若光线 经过 的中心,则 等于

A.               B.           

C.               D.  

 

 

 

二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35.

(一)选做题(请考生在第9、10、11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题计分)

9.在平面直角坐标系 中,若

右顶点,则常数             .

10.已知             .

11.如图2,在半径为 的 中,弦

            .

 

 

(一)必做题(12-16题)

12.若             .

13.执行如图3所示的程序框图,如果输入             .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14.设 是双曲线 的两个焦点,P是C上一点,若 且 的最小内角为 ,则C的离心率为___。

15.设 为数列 的前n项和, 则

(1) _____;

(2) ___________。

16.设函数

(1)记集合 ,则 所对应的 的零点的取值集合为____。

 

(2)若             .(写出所有正确结论的序号)

③若

三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)

已知函数 。

(I)若 是第一象限角,且 。求 的值;

(II)求使 成立的x的取值集合。

18.(本小题满分12分)

某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:

X

1

2

3

4

Y

51

48

45

42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。

(I)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;

(II)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望。

19.(本小题满分12分)

如图5,在直棱柱

(I)证明: ;

(II)求直线 所成角的正弦值。

20.(本小题满分13分)

在平面直角坐标系xOy中,将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径 都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy内三点 处。现计划在x轴上方区域(包含x轴)内的某一点P处修建一个文化中心。

(I)写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式(不要求证明);

(II)若以原点O为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L路径”不能进入保护区,请确定点P的位置,使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。

21.(本小题满分13分)

过抛物线 的焦点F作斜率分别为 的两条不同的直线 ,且 , 相交于点A,B, 相交于点C,D。以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为 。

(I)若 ,证明; ;

(II)若点M到直线 的距离的最小值为 ,求抛物线E的方程。

22.(本小题满分13分)

已知 ,函数 。

(I);记 求 的表达式;

(II)是否存在 ,使函数 在区间 内的图像上存在两点,在该两点处的切线相互垂直?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由。