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2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数 在复平面上对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是
A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法
3.在锐角中 ，角 所对的边长分别为 .若
A． B． C． D．
4.若变量 满足约束条件 ，
A． B． C． D．
5.函数 的图像与函数 的图像的交点个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
6. 已知 是单位向量， .若向量 满足
A． B．
C． D．
7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于
A． B． C． D．
8.在等腰三角形 中， 点 是边 上异于 的一点，光线从点 出发，经 发射后又回到原点 （如图 ）.若光线 经过 的中心，则 等于
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.
（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）
9.在平面直角坐标系 中，若
右顶点，则常数 .
10.已知 .
11.如图2，在半径为 的 中,弦
.
（一）必做题（12-16题）
12.若 .
13.执行如图3所示的程序框图，如果输入 .
14．设 是双曲线 的两个焦点，P是C上一点，若 且 的最小内角为 ，则C的离心率为___。
15．设 为数列 的前n项和， 则
（1） _____；
（2） ___________。
16．设函数
（1）记集合 ，则 所对应的 的零点的取值集合为____。
（2）若 .（写出所有正确结论的序号）
①
②
③若
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知函数 。
（I）若 是第一象限角，且 。求 的值；
（II）求使 成立的x的取值集合。
18．（本小题满分12分）
某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：
|
X |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
Y |
51 |
48 |
45 |
42 |
这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。
（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。
19．（本小题满分12分）
如图5，在直棱柱
（I）证明： ；
（II）求直线 所成角的正弦值。
20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图6所示的路径 都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点 处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。
（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；
（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。
21．（本小题满分13分）
过抛物线 的焦点F作斜率分别为 的两条不同的直线 ，且 ， 相交于点A，B， 相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为 。
（I）若 ，证明； ；
（II）若点M到直线 的距离的最小值为 ，求抛物线E的方程。
22．（本小题满分13分）
已知 ，函数 。
（I）；记 求 的表达式；
（II）是否存在 ，使函数 在区间 内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求 的取值范围；若不存在，请说明理由。
